微积分学示例

$\frac{\sqrt[3]{t}}{t - 9}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{3}}}{t - 9}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (t) = t - 9$ 。

$\frac{(t - 9) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(t - 9) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{(t - 9) \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t - 9]}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $t - 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 9])}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 11

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} (1 + 0)}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(t - 9) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2

化简分子。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1

将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.2.1.3.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 9 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.4.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - t^{\frac{1}{3}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.2

要将 $- t^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - t^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.3

组合 $- t^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5

化简每一项。

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解题步骤 13.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.1.1

从 $t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 13.2.5.1.1.1

移动 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.1.3

从 $- 1 \cdot 3 t^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.1.4

从 $t^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{3}} (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 1 \cdot 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} (1 - 3)}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} \cdot - 2}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.2

将 $- 2$ 移到 $t^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{- 2 \cdot t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

从 $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 13.3.1.1

从 $- \frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.1.2

从 $- \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.1.3

从 $- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}) - (\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.2

要将 $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.3

要将 $\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 t^{\frac{2}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 13.3.4.1

将 $\frac{2 t^{\frac{1}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3})}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.4.2

将 $\frac{3}{t^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{t^{\frac{2}{3}} \cdot 3})}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.4.3

重新排序 $t^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ 的因式。

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}})}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6

化简分子。

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解题步骤 13.3.6.1

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $t^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 13.3.6.1.1

移动 $t^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{- \frac{2 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}}) + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{2 + 1}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{3}{3}} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 t^{1} + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6.2

化简 $2 t^{1}$ 。

$\frac{- \frac{2 t + 3 \cdot 3}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.3.6.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$

解题步骤 13.5

将 $\frac{1}{{(t - 9)}^{2}}$ 乘以 $\frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{2 t + 9}{{(t - 9)}^{2} (3 t^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 13.6

将 $3$ 移到 ${(t - 9)}^{2}$ 的左侧。

$- \frac{2 t + 9}{3 \cdot {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 13.7

将 $- \frac{2 t + 9}{3 {(t - 9)}^{2} t^{\frac{2}{3}}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 t + 9}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 9)}^{2}}$

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