微积分学示例

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

解题步骤 1

使 $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ 重写为 $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

使用完全平方法则进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

将 $4 t^{2}$ 重写为 ${(2 t)}^{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

解题步骤 1.1.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

解题步骤 1.1.2.1.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.1.4

重写多项式。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

解题步骤 1.1.2.1.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2 t$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

解题步骤 1.1.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

解题步骤 1.1.3

根据加法法则， $2 t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 1.1.7

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

通过指数相加将 $4$ 乘以 $4^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

解题步骤 1.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

解题步骤 1.3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

解题步骤 1.3.4

将 $64$ 和 $16$ 相加。

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

解题步骤 1.3.5

将 $80$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = \sqrt{81}$

解题步骤 1.3.6

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

解题步骤 1.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $4$ 乘以 $49$ 。

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

解题步骤 1.5.4

将 $196$ 和 $28$ 相加。

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

解题步骤 1.5.5

将 $224$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = \sqrt{225}$

解题步骤 1.5.6

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

解题步骤 1.5.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u_{upper} = 15$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

解题步骤 5

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{2} u^{2}$ 在 $15$ 处和在 $9$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

解题步骤 5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $225$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

解题步骤 5.2.3

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

解题步骤 5.2.4

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 5.2.5

组合 $- 81$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

解题步骤 5.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

解题步骤 5.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

解题步骤 5.2.8

从 $225$ 中减去 $81$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

解题步骤 5.2.9

约去 $144$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.1

从 $144$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

解题步骤 5.2.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

解题步骤 5.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

解题步骤 5.2.9.2.4

用 $72$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 72$

解题步骤 5.2.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $72$ 。

$\frac{72}{2}$

解题步骤 5.2.11

约去 $72$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.11.1

从 $72$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

解题步骤 5.2.11.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

解题步骤 5.2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{36}{1}$

解题步骤 5.2.11.2.4

用 $36$ 除以 $1$ 。

$36$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例