微积分学示例

$\int 7 x e^{4 x} d x$

解题步骤 1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int x e^{4 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$7 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

解题步骤 5

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

解题步骤 10

将 $7 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 重写为 $7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 。

$7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

解题步骤 11

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

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