微积分学示例

$\int 8 x^{3} - 2 x^{- 1} + \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 8 x^{3} d x + \int - 2 x^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int x^{3} d x + \int - 2 x^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 2 x^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 \int x^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

$2 x^{4} - 2 \ln (| x |) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

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