微积分学示例

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 4 x}$ 。

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $e^{- 4 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

解题步骤 5

使 $u = - 4 x$ 。然后使 $d u = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

解题步骤 5.3

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$u_{lower} = 32$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

解题步骤 5.5

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

解题步骤 6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

解题步骤 9.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ 在 $0$ 处和在 $- 8$ 处的值。

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

解题步骤 11.2

计算 $e^{u}$ 在 $0$ 处和在 $32$ 处的值。

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.4

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.6

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.7

约去 $- 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.7.1

从 $- 8 e^{32}$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.7.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.7.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.7.2.4

用 $- 2 e^{32}$ 除以 $1$ 。

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.8

从 $0$ 中减去 $2 e^{32}$ 。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

解题步骤 11.3.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

运用分配律。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

解题步骤 12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

解题步骤 12.1.3

乘以 $- \frac{1}{16} (- e^{32})$ 。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

解题步骤 12.1.3.2

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

解题步骤 12.1.3.3

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $e^{32}$ 。

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

解题步骤 12.2

要将 $- 2 e^{32}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

解题步骤 12.3

组合 $- 2 e^{32}$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

解题步骤 12.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

解题步骤 12.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

解题步骤 12.6

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

解题步骤 12.7

将 $- 32 e^{32}$ 和 $e^{32}$ 相加。

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

小数形式：

$- 152990735353944$

解题步骤 14

微积分学 示例

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