微积分学示例

$\int_{- 8}^{- 1} \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2.2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2.2.1.4

从 $x \cdot 1 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{3}}$ 移动到分子。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 2.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

移动 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

解题步骤 2.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

解题步骤 2.2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

解题步骤 2.2.3.5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

解题步骤 3

展开 $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

解题步骤 3.2

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

解题步骤 3.3

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

解题步骤 3.4

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

解题步骤 3.5

提取负因数。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

解题步骤 3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

解题步骤 3.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

解题步骤 3.10

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{2} \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 8}^{- 1} - x^{\frac{5}{3}} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} + \int_{- 8}^{- 1} - x^{\frac{5}{3}} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} - \int_{- 8}^{- 1} x^{\frac{5}{3}} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}]_{- 8}^{- 1}))$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{3}{8}$ 和 $x^{\frac{8}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 8}^{- 1} - (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}]_{- 8}^{- 1}))$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 8}^{- 1} - (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}]_{- 8}^{- 1}))$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 8$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}]_{- 8}^{- 1}))$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 8$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{3 {(- 1)}^{5}}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.4

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot - 1}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{- 3}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.7

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.9.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.9.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 {(- 2)}^{5}}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.10

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 32}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.11

将 $3$ 乘以 $- 32$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - \frac{- 96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} - - \frac{96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} + 1 (\frac{96}{5}) - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.14

将 $\frac{96}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{5} + \frac{96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{- 3 + 96}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.16

将 $- 3$ 和 $96$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - ((\frac{3 {(- 1)}^{\frac{8}{3}}}{8}) - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.17

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.18

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.19

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.19.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.19.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 {(- 1)}^{8}}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.20

对 $- 1$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3 \cdot 1}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.21

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 8)}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.22

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{8}{3}}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.23

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.24

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.24.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 2)}^{3 (\frac{8}{3})}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.24.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 {(- 2)}^{8}}{8}))$

解题步骤 8.2.3.25

对 $- 2$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 256}{8}))$

解题步骤 8.2.3.26

将 $3$ 乘以 $256$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{768}{8}))$

解题步骤 8.2.3.27

约去 $768$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.27.1

从 $768$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{8 \cdot 96}{8}))$

解题步骤 8.2.3.27.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.27.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{8 \cdot 96}{8 (1)}))$

解题步骤 8.2.3.27.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{8 \cdot 96}{8 \cdot 1}))$

解题步骤 8.2.3.27.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - \frac{96}{1}))$

解题步骤 8.2.3.27.2.4

用 $96$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - 1 \cdot 96))$

解题步骤 8.2.3.28

将 $- 1$ 乘以 $96$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - 96))$

解题步骤 8.2.3.29

要将 $- 96$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} - 96 \cdot \frac{8}{8}))$

解题步骤 8.2.3.30

组合 $- 96$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - (\frac{3}{8} + \frac{- 96 \cdot 8}{8}))$

解题步骤 8.2.3.31

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - \frac{3 - 96 \cdot 8}{8})$

解题步骤 8.2.3.32

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.32.1

将 $- 96$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - \frac{3 - 768}{8})$

解题步骤 8.2.3.32.2

从 $3$ 中减去 $768$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - \frac{- 765}{8})$

解题步骤 8.2.3.33

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} - - \frac{765}{8})$

解题步骤 8.2.3.34

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} + 1 (\frac{765}{8}))$

解题步骤 8.2.3.35

将 $\frac{765}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} + \frac{765}{8})$

解题步骤 8.2.3.36

要将 $\frac{93}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} \cdot \frac{8}{8} + \frac{765}{8})$

解题步骤 8.2.3.37

要将 $\frac{765}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93}{5} \cdot \frac{8}{8} + \frac{765}{8} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 8.2.3.38

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $40$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.38.1

将 $\frac{93}{5}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{765}{8} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 8.2.3.38.2

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{40} + \frac{765}{8} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 8.2.3.38.3

将 $\frac{765}{8}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{40} + \frac{765 \cdot 5}{8 \cdot 5})$

解题步骤 8.2.3.38.4

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{93 \cdot 8}{40} + \frac{765 \cdot 5}{40})$

解题步骤 8.2.3.39

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{93 \cdot 8 + 765 \cdot 5}{40}$

解题步骤 8.2.3.40

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.40.1

将 $93$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{744 + 765 \cdot 5}{40}$

解题步骤 8.2.3.40.2

将 $765$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{744 + 3825}{40}$

解题步骤 8.2.3.40.3

将 $744$ 和 $3825$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4569}{40}$

解题步骤 8.2.3.41

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4569}{40}$ 。

$\frac{4569}{2 \cdot 40}$

解题步骤 8.2.3.42

将 $2$ 乘以 $40$ 。

$\frac{4569}{80}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4569}{80}$

小数形式：

$57.1125$

带分数形式：

$57 \frac{9}{80}$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例