微积分学示例

$\int 7 \cos (\sqrt{x}) d x$

解题步骤 1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int \cos (\sqrt{x}) d x$

解题步骤 2

使 $u = \sqrt{x}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

$7 \int 2 u \cos (u) d u$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$7 (2 \int u \cos (u) d u)$

解题步骤 4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 \int u \cos (u) d u$

解题步骤 5

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \cos (u)$ 。

$14 (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

解题步骤 6

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$14 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

解题步骤 7

将 $14 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ 重写为 $14 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ 。

$14 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

解题步骤 8

使用 $\sqrt{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$14 (\sqrt{x} \sin (\sqrt{x}) + \cos (\sqrt{x})) + C$

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