微积分学示例

$\int 24 t^{7} e^{- t^{8}} d t$

解题步骤 1

由于 $24$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $24$ 移到积分外。

$24 \int t^{7} e^{- t^{8}} d t$

解题步骤 2

使 $u_{1} = t^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = t^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $t^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$24 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ 重写为 ${u_{1}}^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$24 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.2

约去公因数。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.3

重写表达式。

$24 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ 重写为 ${u_{1}}^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2.2

约去公因数。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2.3

重写表达式。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2.4.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$24 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{3}$ 。

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ 和 $e^{- {u_{1}}^{4}}$ 。

$24 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$24 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $24$ 。

$\frac{24}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 5.2

约去 $24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 12}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 12}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{12}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$12 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 6.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$12 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ 重写为 ${u_{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.1.4.2.2

约去公因数。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.1.4.2.3

重写表达式。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$12 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{2}$ 。

$12 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{u_{2}}{2}$ 和 $e^{- {u_{2}}^{2}}$ 。

$12 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $12$ 。

$\frac{12}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 10

使 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 。然后使 $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $- {u_{2}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

解题步骤 10.1.2

因为 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $- {u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 u_{2})$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 u_{2}$

解题步骤 10.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$6 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$6 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

解题步骤 11.2

组合 $e^{u_{3}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$6 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$6 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

解题步骤 13

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- 6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 6$ 。

$\frac{- 6}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 15.2

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 15.2.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 15.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 15.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 15.2.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$- 3 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 16

$e^{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $e^{u_{3}}$ 。

$- 3 (e^{u_{3}} + C)$

解题步骤 17

化简。

$- 3 e^{u_{3}} + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 18.1

使用 $- {u_{2}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- 3 e^{- {u_{2}}^{2}} + C$

解题步骤 18.2

使用 ${u_{1}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 3 e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

解题步骤 18.3

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 3 e^{- {({(t^{2})}^{2})}^{2}} + C$

微积分学 示例

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