微积分学示例

$\int 2 \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sin (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int u d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ 。

$2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} u^{2} + C$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$1 u^{2} + C$

解题步骤 4.2.3

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$u^{2} + C$

解题步骤 5

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sin^{2} (x) + C$

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