微积分学示例

$\int 2 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2

重写表达式。

$1 \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.3

将 $\int \sqrt{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

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