微积分学示例

$\int_{- 3}^{0} 1 + \sqrt{9 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 3}^{0} d x + \int_{- 3}^{0} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $x = 3 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 3 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \cos (t)$ 为正数。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简 $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.3

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.4

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.5

使用勾股恒等式。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.6

将 $9 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 4.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

解题步骤 4.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x]_{- 3}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 9 \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 5

由于 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$x]_{- 3}^{0} + 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 6

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$x]_{- 3}^{0} + 9 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x]_{- 3}^{0} + 9 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 11

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 11.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 11.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 11.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = - π$

解题步骤 11.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

解题步骤 11.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 11.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 11.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 12

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{0} \cos (u) d u)$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$x]_{- 3}^{0} + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

解题步骤 15

代入并化简。

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解题步骤 15.1

计算 $x$ 在 $0$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$(0) + 3 + \frac{9}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

解题步骤 15.2

计算 $t$ 在 $0$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$(0) + 3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

解题步骤 15.3

计算 $\sin (u)$ 在 $0$ 处和在 $- π$ 处的值。

$(0) + 3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (- π)))$

解题步骤 15.4

化简。

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解题步骤 15.4.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$3 + \frac{9}{2} ((0) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (- π)))$

解题步骤 15.4.2

将 $0$ 和 $\frac{π}{2}$ 相加。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

解题步骤 16.2

从 $0$ 中减去 $\sin (- π)$ 。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- π)))$

解题步骤 16.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (- π)$ 。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (- π)}{2})$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

化简分子。

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解题步骤 17.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

解题步骤 17.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

解题步骤 17.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} - 0)$

解题步骤 17.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 + \frac{9}{2} (\frac{π}{2} + 0)$

解题步骤 17.4

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 + \frac{9}{2} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 17.5

乘以 $\frac{9}{2} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 17.5.1

将 $\frac{9}{2}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$3 + \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 17.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 + \frac{9 π}{4}$

解题步骤 18

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3 + \frac{9 π}{4}$

小数形式：

$10.06858347 \dots$

解题步骤 19

微积分学 示例

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