微积分学示例

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 3

使 $u = - 0.1 y$ 。然后使 $d u = - 0.1 d y$ ，以便 $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = - 0.1 y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 0.1 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

解题步骤 3.1.2

因为 $- 0.1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 0.1 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $- 0.1$ 乘以 $1$ 。

$- 0.1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = - 0.1 y$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

解题步骤 3.3

将 $- 0.1$ 乘以 $- 3$ 。

$u_{lower} = 0.3$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = - 0.1 y$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

解题步骤 3.5

将 $- 0.1$ 乘以 $- 2$ 。

$u_{upper} = 0.2$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 4.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.1}$ 。

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{0.1}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.1}$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{0.1}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 8.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

解题步骤 10

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

解题步骤 11

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $e^{u}$ 在 $0.2$ 处和在 $0.3$ 处的值。

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

解题步骤 12.2

计算 $\ln (| y |)$ 在 $- 2$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 12.3

去掉圆括号。

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 13

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

用 $2$ 除以 $0.1$ 。

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

解题步骤 14.2

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

解题步骤 14.3

运用分配律。

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

解题步骤 14.4

将 $- 1$ 乘以 $- 20$ 。

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

解题步骤 14.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

解题步骤 14.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 3$ 和 $0$ 之间的距离为 $3$ 。

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

小数形式：

$1.35272566 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

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