微积分学示例

$\int_{- 3}^{- 1} 2 x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- 3}^{- 1} x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

解题步骤 2

使 $u = 5 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 5 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $5 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $5 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 5 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 5 - {(- 3)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 5 - 1 \cdot 9$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$u_{lower} = 5 - 9$

解题步骤 2.3.2

从 $5$ 中减去 $9$ 。

$u_{lower} = - 4$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 5 - x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1 + 2}$

解题步骤 2.5.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 2.5.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 5 - 1$

解题步骤 2.5.2

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int_{- 4}^{4} - \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

解题步骤 7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

解题步骤 7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 4}^{4})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 4}^{4})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{u^{4}}{4}$ 在 $4$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$- (\frac{256}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 10.2.2

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 10.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 10.2.2.2.2

约去公因数。

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 10.2.2.2.3

重写表达式。

$- (\frac{64}{1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 10.2.2.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$- (64 - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

解题步骤 10.2.3

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$- (64 - \frac{256}{4})$

解题步骤 10.2.4

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4})$

解题步骤 10.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

解题步骤 10.2.4.2.2

约去公因数。

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

解题步骤 10.2.4.2.3

重写表达式。

$- (64 - \frac{64}{1})$

解题步骤 10.2.4.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$- (64 - 1 \cdot 64)$

解题步骤 10.2.5

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$- (64 - 64)$

解题步骤 10.2.6

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$- 0$

解题步骤 10.2.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 11

微积分学 示例

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