微积分学示例

$\int_{2 \sqrt{2}}^{4} \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

解题步骤 1

使 $t = 2 \sec (t_{1})$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d t = 2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ 为正数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(2 \sec (t_{1}))}^{2} - 4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \sec (t_{1})$ 运用乘积法则。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.1.2

从 $4 \sec^{2} (t_{1})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1})) - 4}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.1.4

从 $4 \sec^{2} (t_{1}) + 4 \cdot - 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{4 \tan^{2} (t_{1})}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \tan^{2} (t_{1})$ 重写为 ${(2 \tan (t_{1}))}^{2}$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(2 \tan (t_{1}))}^{2}}} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2 \tan (t_{1})$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 ${(2 \sec (t_{1}))}^{3} (2 \tan (t_{1}))$ 中分解出因数 $2 \tan (t_{1})$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.2.1.2

从 $2 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ 中分解出因数 $2 \tan (t_{1})$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) ({(2 \sec (t_{1}))}^{3})} (2 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

解题步骤 2.2.1.3

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2 \tan (t_{1}) {(2 \sec (t_{1}))}^{3}} (2 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

解题步骤 2.2.1.4

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 2.2.2

组合 $\frac{1}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}}$ 和 $\sec (t_{1})$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $2 \sec (t_{1})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{{(2 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

解题步骤 2.2.3.2

对 $2 (\sec (t_{1}))$ 运用乘积法则。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{2^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

解题步骤 2.2.3.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1})}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

解题步骤 2.2.3.4

约去 $\sec (t_{1})$ 和 $\sec^{3} (t_{1})$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.4.1

乘以 $1$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{8 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

解题步骤 2.2.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.4.2.1

从 $8 \sec^{3} (t_{1})$ 中分解出因数 $\sec (t_{1})$ 。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

解题步骤 2.2.3.4.2.2

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (8 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

解题步骤 2.2.3.4.2.3

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{8 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $t_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ 。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

解题步骤 4.3

将 $\sec (t_{1})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

解题步骤 4.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ 。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

解题步骤 4.5

将 $\cos (t_{1})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 5

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{16} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{16} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d t_{1} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

解题步骤 10

使 $u = 2 t_{1}$ 。然后使 $d u = 2 d t_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 t_{1}$ 。求 $\frac{d u}{d t_{1}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 t_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $t_{1}$ 是常数，所以 $2 t_{1}$ 对 $t_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ 等于 $n {t_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u = 2 t_{1}$ 中的 $t_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u = 2 t_{1}$ 中的 $t_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 10.5

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 10.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

解题步骤 13

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{16} (t_{1}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $t_{1}$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 14.2

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{2 π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{16} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3

化简。

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解题步骤 14.3.1

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.2

要将 $- \frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 14.3.3.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.3.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{16} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.5

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{1}{16} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 14.3.7

从 $4 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

解题步骤 15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

解题步骤 16.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 16.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 16.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 16.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 16.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

解题步骤 16.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{16} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

解题步骤 16.6

运用分配律。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 16.7

化简。

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解题步骤 16.7.1

乘以 $\frac{1}{16} \cdot \frac{π}{12}$ 。

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解题步骤 16.7.1.1

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{π}{12}$ 。

$\frac{π}{16 \cdot 12} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 16.7.1.2

将 $16$ 乘以 $12$ 。

$\frac{π}{192} + \frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 16.7.2

乘以 $\frac{1}{16} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

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解题步骤 16.7.2.1

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 16.7.2.2

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 16.7.3

乘以 $\frac{1}{16} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 16.7.3.1

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{16 \cdot 2}$

解题步骤 16.7.3.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{192} + \frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{32}$

小数形式：

$0.01217575 \dots$

解题步骤 18

微积分学 示例

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