微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

解题步骤 2

使用指数书写表达式。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

解题步骤 2.2

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

解题步骤 3

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

解题步骤 3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u)$

解题步骤 5

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (u)$

$3 (\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$

解题步骤 6.2

组合 $3$ 和 $\frac{\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}}{3}$ 。

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

解题步骤 6.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{3 (\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}})}{3}$

解题步骤 6.3.2

用 $\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7

计算 $\arcsin (u)$ 在 $\frac{1}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π}{6} - \arcsin (0)$

解题步骤 8.1.2

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{6} - 0$

解题步骤 8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{6} + 0$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{6}$

小数形式：

$0.52359877 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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