微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{1}{8}} \frac{\arcsin (4 x)}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \arcsin (4 x)$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{- 4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \arcsin (4 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $\arcsin (4 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\arcsin (4 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\arcsin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1

对 $4 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3.2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3.2.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ 。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.6

将 $\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \arcsin (4 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \arcsin (4 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = \arcsin (0)$

解题步骤 1.3.2

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \arcsin (4 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \arcsin (4 (\frac{1}{8}))$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 (2)})$

解题步骤 1.5.1.2

约去公因数。

$u_{upper} = \arcsin (4 \frac{1}{4 \cdot 2})$

解题步骤 1.5.1.3

重写表达式。

$u_{upper} = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 1.5.2

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{4} u_{2} d u_{2}$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{6}} u_{2} d u_{2}$

解题步骤 3

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 4

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

计算 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + 0)$

解题步骤 4.2.4

将 $\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2})$

解题步骤 4.2.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} {(\frac{π}{6})}^{2}$

解题步骤 4.2.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} {(\frac{π}{6})}^{2}$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

对 $\frac{π}{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}}$

解题步骤 5.2

合并。

$\frac{1 π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 6^{2}}$

解题步骤 5.4

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{π^{2}}{8 \cdot 36}$

解题步骤 5.5

将 $8$ 乘以 $36$ 。

$\frac{π^{2}}{288}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π^{2}}{288}$

小数形式：

$0.03426945 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例