微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} + \int_{0}^{\frac{π}{12}} - \cos (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) d x$

解题步骤 4

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{12}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (6)}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{6}$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (u) d u)$

解题步骤 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$x]_{0}^{\frac{π}{12}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 8

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

计算 $x$ 在 $\frac{π}{12}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

解题步骤 8.2

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π}{12}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{6})) - \sin (0))$

解题步骤 8.3

将 $\frac{π}{12}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{6}) - \sin (0))$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \sin (0))$

解题步骤 9.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0)$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

解题步骤 9.4

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{12} - \frac{1}{4}$

小数形式：

$0.01179938 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例