微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{x}{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{x}{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.5.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (u)$ 的左侧。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 4

因为 $\tan (u)$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ ，所以 $\sec^{2} (u)$ 的积分为 $\tan (u)$ 。

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

解题步骤 5

计算 $\tan (u)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (1 - \tan (0))$

解题步骤 6.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (1 - 0)$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (1 + 0)$

解题步骤 6.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

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