微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

解题步骤 1

使 $u = 4 + r^{2}$ 。然后使 $d u = 2 r d r$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = r d r$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 + r^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d r}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 + r^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 + r^{2}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 。

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $4$ 对于 $r$ 是常数，所以 $4$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 r$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 r$ 相加。

$2 r$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 + r^{2}$ 中的 $r$ 。

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 4 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 + r^{2}$ 中的 $r$ 。

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 1.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u |)$ 在 $4 + \frac{π^{2}}{4}$ 处和在 $4$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ 约为 $6.4674011$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

解题步骤 7.1.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

解题步骤 7.1.3

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

解题步骤 7.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

解题步骤 7.1.5

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

解题步骤 7.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

解题步骤 7.4

乘以 $\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{16 + π^{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

解题步骤 7.4.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

小数形式：

$0.24023999 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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