微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = - \cos (x)$ 。然后使 $d u = \sin (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = - \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $- \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- - \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

乘。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sin (x)$

解题步骤 1.1.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = - \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - \cos (0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = - \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = - 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

解题步骤 2

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $e^{u}$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(e^{0}) - e^{- 1}$

解题步骤 3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - e^{- 1}$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{e}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 - \frac{1}{e}$

小数形式：

$0.63212055 \dots$

微积分学 示例

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