微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\cos^{4} (x)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

解题步骤 2.2

将 ${\cos (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (x)$ 重写成 $1 - \sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

解题步骤 4

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 4.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 5

展开 $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 。

$\int_{0}^{1} u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.6

运用分配律。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.7

运用分配律。

$\int_{0}^{1} u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.8

移动 $u^{7}$ 。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.9

移动括号。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.10

移动 $u^{7}$ 。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.11

移动 $u^{2}$ 。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.12

移动括号。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.13

移动 $u^{7}$ 。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.14

移动 $u^{2}$ 。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.15

移动括号。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 5.16

移动括号。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.17

移动 $u^{7}$ 。

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.18

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.19

将 $u^{7}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.20

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.21

提取负因数。

$\int_{0}^{1} u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.23

将 $7$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.24

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.25

提取负因数。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.27

将 $7$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.28

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.29

将 $u^{7}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

解题步骤 5.31

将 $7$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

解题步骤 5.32

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

解题步骤 5.33

将 $9$ 和 $2$ 相加。

$\int_{0}^{1} u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

解题步骤 5.34

从 $- u^{9}$ 中减去 $u^{9}$ 。

$\int_{0}^{1} u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

解题步骤 5.35

将 $- 2 u^{9}$ 和 $u^{11}$ 重新排序。

$\int_{0}^{1} u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

解题步骤 5.36

移动 $u^{7}$ 。

$\int_{0}^{1} u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} u^{11} d u + \int_{0}^{1} - 2 u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{11}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{12} u^{12}$ 。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

解题步骤 8

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} u^{9} d u + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{9}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{10} u^{10}$ 。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $u^{10}$ 。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{7} d u$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}$ 。

$\frac{1}{12} u^{12} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1} - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{1}{12} u^{12} + \frac{1}{8} u^{8}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1})$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{u^{10}}{10}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{12} \cdot 1^{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8}) - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot 1^{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.2

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} \cdot 1^{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} \cdot 1 - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.4

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.5

要将 $\frac{1}{12}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.6

要将 $\frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24$ 的形式。

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解题步骤 13.3.7.1

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{12 \cdot 2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.7.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{24} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.7.3

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.7.4

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{24} + \frac{3}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 3}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.9

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0^{12} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{24} - (\frac{1}{12} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.11

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{24} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8}) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{24} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.13

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{24} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.14

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{24} - 0 - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.15

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{24} + 0 - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.16

将 $\frac{5}{24}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{24} - 2 ((\frac{1^{10}}{10}) - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.17

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0^{10}}{10})$

解题步骤 13.3.18

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0}{10})$

解题步骤 13.3.19

约去 $0$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.19.1

从 $0$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 (0)}{10})$

解题步骤 13.3.19.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.19.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1})$

解题步骤 13.3.19.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1})$

解题步骤 13.3.19.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - \frac{0}{1})$

解题步骤 13.3.19.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} - 0)$

解题步骤 13.3.20

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10} + 0)$

解题步骤 13.3.21

将 $\frac{1}{10}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{24} - 2 (\frac{1}{10})$

解题步骤 13.3.22

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{5}{24} + \frac{- 2}{10}$

解题步骤 13.3.23

约去 $- 2$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.23.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{24} + \frac{2 (- 1)}{10}$

解题步骤 13.3.23.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.23.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{24} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

解题步骤 13.3.23.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{24} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

解题步骤 13.3.23.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{24} + \frac{- 1}{5}$

解题步骤 13.3.24

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{24} - \frac{1}{5}$

解题步骤 13.3.25

要将 $\frac{5}{24}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{5}{24} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

解题步骤 13.3.26

要将 $- \frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{24}{24}$ 。

$\frac{5}{24} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

解题步骤 13.3.27

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $120$ 的形式。

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解题步骤 13.3.27.1

将 $\frac{5}{24}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 5}{24 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

解题步骤 13.3.27.2

将 $24$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{1}{5} \cdot \frac{24}{24}$

解题步骤 13.3.27.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{24}{24}$ 。

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{24}{5 \cdot 24}$

解题步骤 13.3.27.4

将 $5$ 乘以 $24$ 。

$\frac{5 \cdot 5}{120} - \frac{24}{120}$

解题步骤 13.3.28

在公分母上合并分子。

$\frac{5 \cdot 5 - 24}{120}$

解题步骤 13.3.29

化简分子。

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解题步骤 13.3.29.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25 - 24}{120}$

解题步骤 13.3.29.2

从 $25$ 中减去 $24$ 。

$\frac{1}{120}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{120}$

小数形式：

$0.008\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例