微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

代入并化简。

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解题步骤 3.1.1

计算 $x \sin (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 3.1.2

计算 $- \cos (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $\sin (\frac{π}{2})$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 3.1.3.3

将 $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

解题步骤 3.1.3.4

要将 $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.1.3.5

组合 $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.1.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

解题步骤 3.2.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))}{2}$

解题步骤 3.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)}{2}$

解题步骤 3.2.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π - 2 (- 0 + 1)}{2}$

解题步骤 3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π - 2 (0 + 1)}{2}$

解题步骤 3.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{π - 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 3.2.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π - 2}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π - 2}{2}$

小数形式：

$0.57079632 \dots$

微积分学 示例

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