微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {(\cos (x) + \sec (x))}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(\cos (x) + \sec (x))}^{2}$ 重写为 $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} (\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sec (x)) (\cos (x) + \sec (x))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) (\cos (x) + \sec (x)) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) (\cos (x) + \sec (x)) d x$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \cos (x) \sec (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $\cos (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $\cos (x) \sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.2.3

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.3

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.3.1.3.1

将 $\sec (x) \cos (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.3.2

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1.3.1.4.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) d x$

解题步骤 1.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + {\sec (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 1 + 1 + \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + 2 + \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 7.5

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + \int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 12

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 13

组合 $2 x]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 和 $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $x$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 14.2

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{2 π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + 2 x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 14.3

计算 $2 x + \tan (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

将 $\frac{π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))) + (2 \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

解题步骤 14.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (2 \cdot 0 + \tan (0))$

解题步骤 14.4.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0))$

解题步骤 14.4.4

将 $0$ 和 $\tan (0)$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0)$

解题步骤 15.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0)$

解题步骤 15.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

解题步骤 15.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

解题步骤 15.5

将 $\sin (\frac{2 π}{3})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

解题步骤 15.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (\frac{2 π}{3})$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} - 0$

解题步骤 15.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} + 0$

解题步骤 15.8

将 $\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.1.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.1.3

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 16.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 16.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{π}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.4

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

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解题步骤 16.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.5

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 16.6.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.7

在公分母上合并分子。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.8

要将 $\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.9

要将 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24$ 的形式。

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解题步骤 16.10.1

将 $\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.10.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{3}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.10.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{8 \cdot 3} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.10.4

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.11

在公分母上合并分子。

$\frac{(π + 2 π \cdot 2) \cdot 4 + \sqrt{3} \cdot 3}{24} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.12

重新排序项。

$\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.13

用公分母合并 $\frac{4 (π + 2 π \cdot 2) + 3 \sqrt{3}}{24}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

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解题步骤 16.13.1

移动 $π$ 。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3}$

解题步骤 16.13.2

要将 $\sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{24}{24}$ 。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \sqrt{3} \cdot \frac{24}{24}$

解题步骤 16.13.3

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{24}{24}$ 。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3}}{24} + \frac{\sqrt{3} \cdot 24}{24}$

解题步骤 16.13.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 24}{24}$

解题步骤 16.14

重新排序 $\sqrt{3} \cdot 24$ 的因式。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 3 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{24}$

解题步骤 16.15

将 $3 \sqrt{3}$ 和 $24 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{4 (π + 2 \cdot 2 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

解题步骤 16.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 (π + 4 π) + 27 \sqrt{3}}{24}$

解题步骤 16.17

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$\frac{4 \cdot 5 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

解题步骤 17

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

解题步骤 18

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{20 π + 27 \sqrt{3}}{24}$

小数形式：

$4.56655103 \dots$

微积分学 示例

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