微积分学示例

$\int x^{5} \sin (x^{6}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ 重写为 ${u_{1}}^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{6}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{\frac{3}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{2}$ 。

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ 和 $\sin ({u_{1}}^{3})$ 。

$\int \frac{{u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{3}) d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ 。然后使 $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 ${u_{1}}^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 5

组合 $\sin (u_{2})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 7.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 8

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2}) + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2})) + C$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $\cos (u_{2})$ 。

$- \frac{\cos (u_{2})}{6} + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 10.1

使用 ${u_{1}}^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{\cos ({u_{1}}^{3})}{6} + C$

解题步骤 10.2

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{\cos ({(x^{2})}^{3})}{6} + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\cos (x^{2 \cdot 3})}{6} + C$

解题步骤 11.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\cos (x^{6})}{6} + C$

解题步骤 11.2

重新排序项。

$- \frac{1}{6} \cos (x^{6}) + C$

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