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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
分解分数并乘以公分母。
解题步骤 1.1.1
使用 AC 法来对 进行因式分解。
解题步骤 1.1.1.1
思考一下 这种形式。找出一对整数,其积为 ,且和为 。在本例中,其积即为 ,和为 。
解题步骤 1.1.1.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 1.1.2
对于分母中的每一个因式,使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的,在它的位置 上放置单个变量 。
解题步骤 1.1.3
对于分母中的每一个因式,使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的,在它的位置 上放置单个变量 。
解题步骤 1.1.4
将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中,分母为 。
解题步骤 1.1.5
约去 的公因数。
解题步骤 1.1.5.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.5.2
重写表达式。
解题步骤 1.1.6
约去 的公因数。
解题步骤 1.1.6.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.6.2
用 除以 。
解题步骤 1.1.7
化简每一项。
解题步骤 1.1.7.1
约去 的公因数。
解题步骤 1.1.7.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.7.1.2
用 除以 。
解题步骤 1.1.7.2
运用分配律。
解题步骤 1.1.7.3
将 移到 的左侧。
解题步骤 1.1.7.4
约去 的公因数。
解题步骤 1.1.7.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.7.4.2
用 除以 。
解题步骤 1.1.7.5
运用分配律。
解题步骤 1.1.7.6
将 移到 的左侧。
解题步骤 1.1.7.7
将 重写为 。
解题步骤 1.1.8
移动 。
解题步骤 1.2
为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。
解题步骤 1.2.1
使方程两边 的系数相等,从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立,等式两边的相应系数必须相等。
解题步骤 1.2.2
使方程两边不含 的各项系数相等,从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立,等式两边的相应系数必须相等。
解题步骤 1.2.3
建立方程组以求部分分式的系数。
解题步骤 1.3
求解方程组。
解题步骤 1.3.1
在 中求解 。
解题步骤 1.3.1.1
将方程重写为 。
解题步骤 1.3.1.2
从等式两边同时减去 。
解题步骤 1.3.2
将每个方程中所有出现的 替换成 。
解题步骤 1.3.2.1
使用 替换 中所有出现的 .
解题步骤 1.3.2.2
化简右边。
解题步骤 1.3.2.2.1
化简 。
解题步骤 1.3.2.2.1.1
化简每一项。
解题步骤 1.3.2.2.1.1.1
运用分配律。
解题步骤 1.3.2.2.1.1.2
将 乘以 。
解题步骤 1.3.2.2.1.1.3
将 乘以 。
解题步骤 1.3.2.2.1.1.4
将 重写为 。
解题步骤 1.3.2.2.1.2
从 中减去 。
解题步骤 1.3.3
在 中求解 。
解题步骤 1.3.3.1
将方程重写为 。
解题步骤 1.3.3.2
将所有不包含 的项移到等式右边。
解题步骤 1.3.3.2.1
从等式两边同时减去 。
解题步骤 1.3.3.2.2
从 中减去 。
解题步骤 1.3.3.3
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 1.3.3.3.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 1.3.3.3.2
化简左边。
解题步骤 1.3.3.3.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 1.3.3.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.3.3.3.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 1.3.3.3.3
化简右边。
解题步骤 1.3.3.3.3.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 1.3.4
将每个方程中所有出现的 替换成 。
解题步骤 1.3.4.1
使用 替换 中所有出现的 .
解题步骤 1.3.4.2
化简右边。
解题步骤 1.3.4.2.1
化简 。
解题步骤 1.3.4.2.1.1
将 写成具有公分母的分数。
解题步骤 1.3.4.2.1.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.3.4.2.1.3
从 中减去 。
解题步骤 1.3.5
列出所有解。
解题步骤 1.4
将 中的每个部分分式的系数替换为求得的 和 的值。
解题步骤 1.5
化简。
解题步骤 1.5.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.5.2
将 乘以 。
解题步骤 1.5.3
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.5.4
将 乘以 。
解题步骤 2
将单个积分拆分为多个积分。
解题步骤 3
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
设 。求 。
解题步骤 4.1.1
对 求导。
解题步骤 4.1.2
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 4.1.5
将 和 相加。
解题步骤 4.2
使用 和 重写该问题。
解题步骤 5
对 的积分为 。
解题步骤 6
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 7
解题步骤 7.1
设 。求 。
解题步骤 7.1.1
对 求导。
解题步骤 7.1.2
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 7.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 7.1.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 7.1.5
将 和 相加。
解题步骤 7.2
使用 和 重写该问题。
解题步骤 8
对 的积分为 。
解题步骤 9
化简。
解题步骤 10
解题步骤 10.1
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 10.2
使用 替换所有出现的 。