微积分学示例

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{u}{2}$ 和 $\sin (u)$ 。

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

解题步骤 6.2

将 $\int \cos (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

解题步骤 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ 。

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

解题步骤 9

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

解题步骤 10.2

乘以 $\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ 。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $\cos (x^{2})$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

解题步骤 10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (x^{2})$ 。

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

解题步骤 10.4

将 $- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

微积分学 示例

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