微积分学示例

$\int x^{4} e^{- x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{4}$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 x^{3}) d x$

解题步骤 2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) - \int - 4 e^{- x} x^{3} d x$

解题步骤 3

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$x^{4} (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} x^{3} d x)$

解题步骤 4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} x^{3} d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - \int - 3 e^{- x} x^{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) - (- 3 \int e^{- x} x^{2} d x))$

解题步骤 8

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 \int e^{- x} x^{2} d x)$

解题步骤 9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x))$

解题步骤 10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x))$

解题步骤 11

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)))$

解题步骤 12

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x))$

解题步骤 13

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)))$

解题步骤 14

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)))$

解题步骤 15.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)))$

解题步骤 16

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 16.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 16.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 16.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 16.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 16.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 16.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)))$

解题步骤 17

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)))$

解题步骤 18

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$

解题步骤 19

将 $x^{4} (- e^{- x}) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))))$ 重写为 $- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$ 。

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}))) + C$

解题步骤 20

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x^{4} e^{- x} + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + 3 (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}))) + C$

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