微积分学示例

$\int x^{2} \sin (5 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (5 x)$ 。

$x^{2} (- \frac{1}{5} \cos (5 x)) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (5 x)$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$x^{2} (- \frac{\cos (5 x)}{5}) - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{\cos (5 x)}{5}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - \int - \frac{1}{5} \cos (5 x) (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{5} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{5} \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{1}{5} \cdot 2 \int \cos (5 x) (x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- 2 (\frac{1}{5}) \int \cos (5 x) (x) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (\frac{- 2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} - (- \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + 1 (\frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x)$

解题步骤 4.5

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} \int \cos (5 x) (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (5 x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} \sin (5 x)) - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\sin (5 x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (x \frac{\sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (5 x)}{5}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{1}{5} \sin (5 x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\sin (5 x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \int \frac{\sin (5 x)}{5} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - (\frac{1}{5} \int \sin (5 x) d x))$

解题步骤 8

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \sin (u) \frac{1}{5} d u)$

解题步骤 9

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{\sin (u)}{5} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 11.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 12

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} - \frac{1}{25} (- \cos (u) + C))$ 重写为 $- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

要将 $\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot \frac{5}{5} + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (5 x)}{5} + \frac{\frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

解题步骤 13.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25}) \cdot 5}{5} + C$

解题步骤 13.2.4

组合 $5$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{10}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.6

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.6.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

解题步骤 13.2.6.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (u)}{25})}{5} + C$

解题步骤 14

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 (\frac{x \sin (5 x)}{5} + \frac{\cos (5 x)}{25})}{5} + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

运用分配律。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + 2 \frac{x \sin (5 x)}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{x \sin (5 x)}{5}$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + 2 \frac{\cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (5 x)}{25}$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (5 x) + \frac{2 (x \sin (5 x))}{5} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.4

要将 $- x^{2} \cos (5 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} - x^{2} \cos (5 x) \cdot \frac{25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.5

组合 $- x^{2} \cos (5 x)$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25}{25} + \frac{2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.7

要将 $\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x)}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $25$ 的形式。

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解题步骤 15.1.8.1

将 $\frac{2 x \sin (5 x)}{5}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.8.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5}{25} + \frac{- x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.10

以因式分解的形式重写 $\frac{2 x \sin (5 x) \cdot 5 - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}$ 。

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解题步骤 15.1.10.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - x^{2} \cos (5 x) \cdot 25 + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.1.10.2

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}}{5} + C$

解题步骤 15.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5} + C$

解题步骤 15.3

乘以 $\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25} \cdot \frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 15.3.1

将 $\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{25 \cdot 5} + C$

解题步骤 15.3.2

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)}{125} + C$

解题步骤 15.4

重新排序项。

$\frac{1}{125} (10 x \sin (5 x) - 25 x^{2} \cos (5 x) + 2 \cos (5 x)) + C$

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