微积分学示例

$\int x^{2} \sin (4 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (4 x)$ 。

$x^{2} (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (4 x)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x^{2} (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{\cos (4 x)}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{4} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4} \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 2 \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- 2 (\frac{1}{4}) \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.3

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 (- 1)}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

解题步骤 4.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (4 x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (4 x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (4 x)}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (4 x)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{\sin (4 x)}{4} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x))$

解题步骤 8

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

解题步骤 9

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 11.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 12

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$ 重写为 $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

要将 $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.2.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{4}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

解题步骤 13.2.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

解题步骤 13.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

解题步骤 13.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

解题步骤 13.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

解题步骤 13.2.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

解题步骤 14

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16})}{4} + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{4} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

解题步骤 15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 (2)} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

解题步骤 15.2.2

约去公因数。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

解题步骤 15.2.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

解题步骤 15.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 (8)}}{4} + C$

解题步骤 15.3.2

约去公因数。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

解题步骤 15.3.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

要将 $- x^{2} \cos (4 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} - x^{2} \cos (4 x) \cdot \frac{8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.2

组合 $- x^{2} \cos (4 x)$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.4

要将 $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 16.1.5.1

将 $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.7

以因式分解的形式重写 $\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}$ 。

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解题步骤 16.1.7.1

将 $4$ 移到 $x \sin (4 x)$ 的左侧。

$\frac{\frac{4 \cdot (x \sin (4 x)) - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.1.7.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

解题步骤 16.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

解题步骤 16.3

乘以 $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 16.3.1

将 $\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

解题步骤 16.3.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{32} + C$

解题步骤 16.4

重新排序项。

$\frac{1}{32} (4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)) + C$

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