微积分学示例

$\int x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 3

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\int \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (t)$ 的形式。

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 。

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

解题步骤 7

使 $u_{1} = 2 t$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{1} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

解题步骤 9

通过相乘进行化简。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.2

展开 $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ 。

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解题步骤 9.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.4

移动 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.6

将 $\cos (u_{1})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.8

提取负因数。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.2.9

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.2.10

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

解题步骤 9.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.13

从 $\cos (u_{1})$ 中减去 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.2.14

从 $0$ 中减去 $\cos^{2} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 13

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

解题步骤 15

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

解题步骤 17

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 17.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 17.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 17.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 17.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 17.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 17.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

解题步骤 18

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

解题步骤 19

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

解题步骤 20

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

化简。

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

解题步骤 21.2

化简。

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解题步骤 21.2.1

要将 $u_{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

解题步骤 21.2.2

组合 $u_{1}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

解题步骤 21.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

解题步骤 21.2.4

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

解题步骤 21.2.5

从 $2 u_{1}$ 中减去 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

解题步骤 22

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 22.1

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

解题步骤 22.2

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 t}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

解题步骤 22.3

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

解题步骤 22.4

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 t))}{4}) + C$

解题步骤 22.5

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

化简每一项。

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解题步骤 23.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{8} (\frac{2 \arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

解题步骤 23.1.1.2

用 $\arcsin (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 (2 \arcsin (x)))}{4}) + C$

解题步骤 23.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8} (\arcsin (x) - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

解题步骤 23.2

运用分配律。

$\frac{1}{8} \arcsin (x) + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

解题步骤 23.3

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\arcsin (x)$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}) + C$

解题步骤 23.4

乘以 $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4})$ 。

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解题步骤 23.4.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{\sin (4 \arcsin (x))}{4}$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{8 \cdot 4} + C$

解题步骤 23.4.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{8} - \frac{\sin (4 \arcsin (x))}{32} + C$

解题步骤 24

重新排序项。

$\frac{1}{8} \arcsin (x) - \frac{1}{32} \sin (4 \arcsin (x)) + C$

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