微积分学示例

$\int x^{2} \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \cos (2 x)$ 。

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

解题步骤 4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x)$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x)$

解题步骤 4.3

将 $\int \sin (2 x) (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (2 x)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 10

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

解题步骤 15

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解题步骤 15.1

将 $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ 重写为 $\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2

化简。

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解题步骤 15.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} \sin (2 x) - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.4

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (u)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

解题步骤 15.2.6

要将 $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 15.2.7

组合 $- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 15.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 15.2.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

解题步骤 16

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1

将 $- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.2.3

约去公因数。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) - (- \cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + 1 (\cos (2 x) x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.4

将 $\cos (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - 2 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

解题步骤 17.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 17.5.3

约去公因数。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

解题步骤 17.5.4

重写表达式。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + \cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 17.6

将 $\cos (2 x) x - \frac{\sin (2 x)}{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} \sin (2 x) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简分子。

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解题步骤 18.1.1

要将 $x^{2} \sin (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x \cos (2 x) + x^{2} \sin (2 x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.1.2

组合 $x^{2} \sin (2 x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x \cos (2 x) + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.1.4

要将 $x \cos (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.1.5

组合 $x \cos (2 x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.1.7

以因式分解的形式重写 $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ 。

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解题步骤 18.1.7.1

将 $2$ 移到 $x \cos (2 x)$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} \sin (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.1.7.2

将 $2$ 移到 $x^{2} \sin (2 x)$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} + C$

解题步骤 18.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2} + C$

解题步骤 18.3

乘以 $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 18.3.1

将 $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 18.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{4} + C$

解题步骤 18.4

重新排序项。

$\frac{1}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) + C$

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