微积分学示例

$\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{8 x}$ 和 $\sin (9 x)$ 重新排序。

$\int \sin (9 x) e^{8 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (9 x)$ ， $d v = e^{8 x}$ 。

$\sin (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (9 \cos (9 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{8} \cdot 9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8} \cdot 9$ 移到积分外。

$\sin (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $e^{8 x}$ 。

$\sin (9 x) \frac{e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\sin (9 x)$ 和 $\frac{e^{8 x}}{8}$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $9$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 x} (\cos (9 x)) d x)$

解题步骤 4.4

将 $e^{8 x}$ 和 $\cos (9 x)$ 重新排序。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 x) e^{8 x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (9 x)$ ， $d v = e^{8 x}$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (- 9 \sin (9 x)) d x))$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{8} \cdot - 9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8} \cdot - 9$ 移到积分外。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) (\frac{1}{8} e^{8 x}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $e^{8 x}$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 x) \frac{e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

解题步骤 7.2

组合 $\cos (9 x)$ 和 $\frac{e^{8 x}}{8}$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $- 9$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)))$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

解题步骤 7.5

将 $\frac{\cos (9 x) e^{8 x}}{8}$ 乘以 $\frac{9}{8}$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x))$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{9}{8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x)$

解题步骤 7.7

将 $\frac{- 9}{8}$ 乘以 $\frac{9}{8}$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

解题步骤 7.8

乘。

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解题步骤 7.8.1

将 $- 9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

解题步骤 7.8.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 x} (\sin (9 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{8 x} \sin (9 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ 。

$\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) e^{8 x} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $9$ 移到 $\cos (9 x) e^{8 x}$ 的左侧。

$\frac{\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 x) e^{8 x})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

解题步骤 9.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{145}{64}$ 。

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cos (9 x) e^{8 x}}{64}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.2

将 $(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9 \cos (9 x) e^{8 x}}{64}) \frac{64}{145} + C$ 重写为 $(\frac{1}{8} \sin (9 x) e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$ 。

$(\frac{1}{8} \sin (9 x) e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $\sin (9 x)$ 。

$(\frac{\sin (9 x)}{8} e^{8 x} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.3.2

组合 $\frac{\sin (9 x)}{8}$ 和 $e^{8 x}$ 。

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 x) e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.3.3

组合 $\cos (9 x)$ 和 $\frac{9}{64}$ 。

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{\cos (9 x) \cdot 9}{64} e^{8 x}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.3.4

组合 $e^{8 x}$ 和 $\frac{\cos (9 x) \cdot 9}{64}$ 。

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x} (\cos (9 x) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.3.5

将 $9$ 移到 $\cos (9 x)$ 的左侧。

$(\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

将 $\frac{\sin (9 x) e^{8 x}}{8}$ 中的因式重新排序。

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.4.2

化简分子。

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解题步骤 9.4.2.1

重写。

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (\cos (9 x) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.4.2.2

将 $9$ 移到 $\cos (9 x)$ 的左侧。

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} (9 \cdot \cos (9 x))}{64}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.4.2.3

去掉多余的括号。

$(\frac{e^{8 x} \sin (9 x)}{8} - \frac{e^{8 x} \cdot 9 \cos (9 x)}{64}) \frac{64}{145} + C$

解题步骤 9.4.3

将 $9$ 移到 $e^{8 x}$ 的左侧。

$(\frac{1}{8} e^{8 x} \sin (9 x) - \frac{9}{64} e^{8 x} \cos (9 x)) \frac{64}{145} + C$

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