微积分学示例

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

解题步骤 2

使 $u = \frac{x}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{3} d x$ ，以便 $3 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \frac{x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \frac{x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 2.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \frac{x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 $\cot (u)$ 的左侧。

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

解题步骤 5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

解题步骤 6

$\cot (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sin (u) |)$ 。

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 7

计算 $\ln (| \sin (u) |)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

解题步骤 8.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

解题步骤 8.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 约为 $0.8660254$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

解题步骤 9.2

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3

将分子乘以分母的倒数。

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

解题步骤 9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

约去公因数。

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

解题步骤 9.4.2

重写表达式。

$6 \ln (\sqrt{3})$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 \ln (\sqrt{3})$

小数形式：

$3.29583686 \dots$

微积分学 示例

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