微积分学示例

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + \ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

化简。

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解题步骤 2.1.1

使用对数规则把 $u - 1$ 移到指数外部。

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.1.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.1.3

将 $u - 1$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

展开 $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9

使用 $1 + \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$

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