微积分学示例

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{- x}$ 和 $\sin (4 x)$ 重新排序。

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (4 x)$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1 \cdot 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1 \cdot 4$ 移到积分外。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

解题步骤 4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

解题步骤 4.3

将 $e^{- x}$ 和 $\cos (4 x)$ 重新排序。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (4 x)$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

解题步骤 6

由于 $- - 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- - 4$ 移到积分外。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

解题步骤 7

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

解题步骤 7.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 7.4

乘。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 7.4.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ 。

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ 重写为 $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ 。

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

化简分子。

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解题步骤 9.2.1.1

从 $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 9.2.1.1.1

从 $- \sin (4 x) e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

解题步骤 9.2.1.1.2

从 $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

解题步骤 9.2.1.1.3

从 $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

解题步骤 9.2.1.2

从 $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 9.2.1.2.1

从 $- \sin (4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

解题步骤 9.2.1.2.2

从 $- 4 \cos (4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

解题步骤 9.2.1.2.3

从 $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

解题步骤 9.2.1.3

提取负因数。

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$

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