微积分学示例

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{- 2 x}$ 和 $\sin (2 x)$ 重新排序。

$\int \sin (2 x) e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 x)$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 4.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 4.5

将 $e^{- 2 x}$ 和 $\cos (2 x)$ 重新排序。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 x)$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

解题步骤 6

由于 $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ 移到积分外。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

解题步骤 7.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

解题步骤 7.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

解题步骤 7.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}) - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{- 2}{2}) \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 7.6.2

将 $\frac{- 2}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 7.7

将 $\frac{- 2}{2}$ 乘以 $\frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 7.8

乘。

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解题步骤 7.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

解题步骤 7.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + 1 (\frac{- 2}{2}) (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

解题步骤 7.8.3

将 $\frac{- 2}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 2}{2} (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

解题步骤 7.9

将 $\frac{2}{2}$ 乘以 $\frac{- 2}{2}$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

解题步骤 7.10

乘。

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解题步骤 7.10.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

解题步骤 7.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}}$ 。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $- 2 \cos (2 x) e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 (2)}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- \cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

解题步骤 9.1.3

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

解题步骤 9.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

解题步骤 9.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

解题步骤 9.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

解题步骤 9.1.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2

将 $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 9.3.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 9.3.3

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{\cos (2 x)}{2} e^{- 2 x}) + C$

解题步骤 9.3.4

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 9.4.2

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2})$ 。

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解题步骤 9.4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 9.4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 9.4.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2})$ 。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 9.4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{4} + C$

解题步骤 9.5

去掉圆括号。

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x} \sin (2 x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cos (2 x) + C$

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