微积分学示例

$\int \cos^{4} (2 x) \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (2 x)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int {u_{2}}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int {u_{2}}^{4} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.2

组合 ${u_{2}}^{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{{u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{{u_{2}}^{4}}{2} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

解题步骤 5

根据幂法则， ${u_{2}}^{4}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 。

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- \frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{5 \cdot 2} {u_{2}}^{5} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{10} {u_{2}}^{5} + C$

解题步骤 7

使用 $\cos (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{10} \cos^{5} (2 x) + C$

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