微积分学示例

$\int \cos^{7} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\cos^{6} (x)$ 。

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

将 ${\cos (x)}^{2 (3)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (x)$ 重写成 $1 - \sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

解题步骤 4

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

解题步骤 5

展开 ${(1 - u^{2})}^{3}$ 。

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解题步骤 5.1

使用二项式定理。

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

解题步骤 5.2

将幂重写为乘积形式。

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

解题步骤 5.3

将幂重写为乘积形式。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

解题步骤 5.4

将幂重写为乘积形式。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

解题步骤 5.5

将幂重写为乘积形式。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

解题步骤 5.6

将幂重写为乘积形式。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 5.7

将幂重写为乘积形式。

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.8

移动 $u^{2}$ 。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.9

移动括号。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.10

移动括号。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

解题步骤 5.11

移动 $u^{2}$ 。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 5.12

移动括号。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 5.13

移动括号。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.14

移动 $u^{2}$ 。

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.15

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.16

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.17

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.18

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.19

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.20

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.21

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.22

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.24

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.26

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 5.27

提取负因数。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 5.28

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

解题步骤 5.29

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

解题步骤 5.30

提取负因数。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

解题步骤 5.31

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

解题步骤 5.32

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

解题步骤 5.33

将 $1$ 和 $- 3 u^{2}$ 重新排序。

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

解题步骤 5.34

移动 $1$ 。

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

解题步骤 5.35

将 $- 3 u^{2}$ 和 $3 u^{4}$ 重新排序。

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

解题步骤 5.36

移动 $1$ 。

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

解题步骤 5.37

移动 $- 3 u^{2}$ 。

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

解题步骤 5.38

将 $3 u^{4}$ 和 $- u^{6}$ 重新排序。

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 11

由于 $- 3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

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解题步骤 14.1.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $u^{7}$ 。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

解题步骤 14.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

解题步骤 14.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

解题步骤 14.2

化简。

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

解题步骤 15

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

微积分学 示例

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