微积分学示例

$\int \cot^{4} (x) d x$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\cot (x)}^{2 (2)} d x$

解题步骤 1.2

将 ${\cot (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\cot^{2} (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(- 1 + \csc^{2} (x))}^{2} d x$

解题步骤 3

化简。

$\int 1 - 2 \csc^{2} (x) + \csc^{4} (x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$x + C + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x + C - 2 \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

解题步骤 7

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) + \int \csc^{4} (x) d x$

解题步骤 8

应用归约公式。

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 9

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x) + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x)) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\cot (x)$ 。

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

解题步骤 10.2.2

要将 $2 \cot (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + 2 \cot (x) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

解题步骤 10.2.3

组合 $2 \cot (x)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

解题步骤 10.2.4

在公分母上合并分子。

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3 - 2 \cot (x)}{3} + C$

解题步骤 10.2.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{6 \cot (x) - 2 \cot (x)}{3} + C$

解题步骤 10.2.6

从 $6 \cot (x)$ 中减去 $2 \cot (x)$ 。

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{4 \cot (x)}{3} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$x - \frac{1}{3} \cot (x) \csc^{2} (x) + \frac{4}{3} \cot (x) + C$

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