微积分学示例

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

解题步骤 1

使 $u = 1 - 6 t$ 。然后使 $d u = - 6 d t$ ，以便 $- \frac{1}{6} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - 6 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - 6 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - 6 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ 。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 6 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 6 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$- 6$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{u^{4}}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

解题步骤 2.3

将 $6$ 移到 $u^{4}$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $d$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

解题步骤 5.1.2

组合 $t$ 和 $\frac{d}{6}$ 。

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

解题步骤 5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.2.1

通过将 $u^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 ${(u^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 4}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 。

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $u^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 7.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 3}$ 移动到分母。

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ 。

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

解题步骤 7.3.2

组合 $d$ 和 $\frac{t}{6}$ 。

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

解题步骤 7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

解题步骤 7.3.4

将 $\frac{d t}{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

解题步骤 7.3.5

将 $\frac{d t}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3 u^{3}}$ 。

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

解题步骤 7.3.6

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

解题步骤 8

使用 $1 - 6 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$

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