微积分学示例

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

解题步骤 1

使 $x = 3 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 3 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.3

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.4

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.6

将 $9 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $3 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ 中分解出因数 $3 \cos (t)$ 。

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

解题步骤 2.2.1.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $3 \sin (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

解题步骤 2.2.2.2

对 $3 (\sin (t))$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

解题步骤 2.2.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 转换成 $\csc^{2} (t)$ 。

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

解题步骤 4.2

组合 $d$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

解题步骤 4.3

组合 $x$ 和 $\frac{d}{9}$ 。

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 5

因为 $- \cot (t)$ 的导数为 $\csc^{2} (t)$ ，所以 $\csc^{2} (t)$ 的积分为 $- \cot (t)$ 。

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ 重写为 $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ 。

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{x}{9}$ 和 $d$ 。

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

解题步骤 6.2.3

组合 $\frac{x d}{9}$ 和 $\cot (t)$ 。

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

解题步骤 7

使用 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ 为 $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ 。

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

解题步骤 8.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{3}$ 。

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.9

将 $\frac{3 + x}{3}$ 乘以 $\frac{3 - x}{3}$ 。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.11

将 $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 。

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解题步骤 8.11.1

从 $(3 + x) (3 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.11.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.11.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.12

从根式下提出各项。

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.13

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 。

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.14

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.14.1

约去公因数。

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.14.2

重写表达式。

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

解题步骤 8.15

组合 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

解题步骤 8.16

合并指数。

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解题步骤 8.16.1

组合 $x$ 和 $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ 。

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

解题步骤 8.16.2

组合 $d$ 和 $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ 。

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

解题步骤 8.17

去掉多余的括号。

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

解题步骤 8.18

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 8.18.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ 。

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解题步骤 8.18.1.1

约去公因数。

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

解题步骤 8.18.1.2

重写表达式。

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

解题步骤 8.18.2

用 $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$

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