微积分学示例

$\int t^{2} \cos (t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t^{2}$ ， $d v = \cos (t)$ 。

$t^{2} \sin (t) - \int \sin (t) (2 t) d t$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$t^{2} \sin (t) - (2 \int \sin (t) (t) d t)$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$t^{2} \sin (t) - 2 \int \sin (t) (t) d t$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \sin (t)$ 。

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) - \int - \cos (t) d t)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) - - \int \cos (t) d t)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + 1 \int \cos (t) d t)$

解题步骤 6.2

将 $\int \cos (t) d t$ 乘以 $1$ 。

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \int \cos (t) d t)$

解题步骤 7

$\cos (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\sin (t)$ 。

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \sin (t) + C)$

解题步骤 8

将 $t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \sin (t) + C)$ 重写为 $t^{2} \sin (t) - 2 (- t \cos (t) + \sin (t)) + C$ 。

$t^{2} \sin (t) - 2 (- t \cos (t) + \sin (t)) + C$

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