微积分学示例

$\int \tan^{3} (3 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\tan^{3} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{3} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

因式分解出 $\tan^{2} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{3} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (u_{1})$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{3} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

运用分配律。

$\frac{1}{3} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 9

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ 。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 10

使 $u_{2} = \sec (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = \sec (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $\sec (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

解题步骤 10.1.2

$\sec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 11

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 12

化简。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

解题步骤 13.2

使用 $\sec (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

解题步骤 13.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (3 x)) + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec^{2} (3 x)$ 。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{\sec^{2} (3 x)}{2}) + C$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

解题步骤 14.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| \sec (3 x) |)$ 。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

解题步骤 14.4

合并。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1 \sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

解题步骤 14.5

化简每一项。

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解题步骤 14.5.1

将 $\sec^{2} (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

解题步骤 14.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$- \frac{1}{3} \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

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