微积分学示例

$\int \sqrt{x^{2} - 4} d x$

解题步骤 1

使 $x = 2 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int 2 \tan (t) (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.3

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 4

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$4 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 6.2

化简每一项。

$4 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 9

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 10

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 11

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

解题步骤 12

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 13

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 15

化简表达式。

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解题步骤 15.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 15.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 16

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

解题步骤 17

通过相乘进行化简。

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解题步骤 17.1

将幂重写为乘积形式。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 17.2

运用分配律。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 17.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 18

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 19

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 21

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 22

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

解题步骤 23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

解题步骤 24

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 25

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 26

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 27

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 28

通过相乘进行化简。

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解题步骤 28.1

运用分配律。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 28.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 29

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 30

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 31

化简。

$4 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 32

化简。

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解题步骤 32.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 32.2

将 $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 和 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 相加。

$4 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 32.3

组合 $4$ 和 $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ 。

$\frac{4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

解题步骤 32.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 32.4.1

从 $4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

解题步骤 32.4.2

约去公因数。

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解题步骤 32.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

解题步骤 32.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 32.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

解题步骤 32.4.2.4

用 $2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ 除以 $1$ 。

$2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 33

使用 $arcsec (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$2 (\sec (arcsec (\frac{x}{2})) \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34

化简。

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解题步骤 34.1

化简每一项。

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解题步骤 34.1.1

正割函数和反正割函数互为反函数。

$2 (\frac{x}{2} \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.2

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ 为 $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.6

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.9

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.11

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.13

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 34.1.13.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.13.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.13.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.14

从根式下提出各项。

$2 (\frac{x}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.15

使用乘法的交换性质重写。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.16

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 34.1.16.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$2 (\frac{x}{2 \cdot 2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.16.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{x}{4} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.17

组合 $\frac{x}{4}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.18

化简每一项。

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解题步骤 34.1.18.1

正割函数和反正割函数互为反函数。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

解题步骤 34.1.18.2

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.6

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.9

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.11

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.13

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 34.1.18.13.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.13.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.13.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.14

从根式下提出各项。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$

解题步骤 34.1.18.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

解题步骤 34.1.19

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

解题步骤 34.1.20

从绝对值中去掉非负项。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})) + C$

解题步骤 34.2

要将 $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

解题步骤 34.3

组合 $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} + \frac{- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

解题步骤 34.4

在公分母上合并分子。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 34.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{4} + C$

解题步骤 34.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 34.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 (2)} + C$

解题步骤 34.6.2

约去公因数。

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 34.6.3

重写表达式。

$\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2} + C$

解题步骤 35

重新排序项。

$\frac{1}{2} (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{1}{2} | x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$

微积分学 示例

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