微积分学示例

$\int \sqrt{16 - 9 x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{4}{3} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{4 \cos (t)}{3} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{4 \cos (t)}{3}$ 为正数。

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{16 - 9 {(\frac{4}{3} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \sqrt{16 - 9 {(\frac{4 \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{4 \sin (t)}{3}$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $4 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{4^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{16 - 9 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \sqrt{16 + 9 (- 1) \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

约去公因数。

$\int \sqrt{16 + 9 \cdot - 1 \frac{16 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5.3

重写表达式。

$\int \sqrt{16 - 1 (16 \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.6

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 16 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{16 \cos^{2} (t)} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $16 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(4 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int 4 \cos (t) \frac{4 \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{4 \cos (t)}{3}$ 和 $4$ 。

$\int \frac{4 \cos (t) \cdot 4}{3} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{16 \cos (t)}{3} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{16 \cos (t)}{3}$ 和 $\cos (t)$ 。

$\int \frac{16 \cos (t) \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.4

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} d t$

解题步骤 2.2.5

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} d t$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{16 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{16 \cos^{2} (t)}{3} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{16}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{16}{3}$ 移到积分外。

$\frac{16}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{16}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{16}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{16}{3}$ 。

$\frac{16}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{16}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.3

约去 $16$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (8)}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{8}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 9.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{8}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 10

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{8}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 12

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{8}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 13

化简。

$\frac{8}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 14.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 14.3

使用 $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ 。

$\frac{8}{3} (\arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3 x}{4}) + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $\arcsin (\frac{3 x}{4})$ 。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 15.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 15.4.2

约去公因数。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 15.4.3

重写表达式。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4})) + C$

解题步骤 15.5

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $\sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))$ 。

$\frac{8 \arcsin (\frac{3 x}{4})}{3} + \frac{4 \sin (2 \arcsin (\frac{3 x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{8}{3} \arcsin (\frac{3}{4} x) + \frac{4}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{3}{4} x)) + C$

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