微积分学示例

$\int \sec^{4} (x) \tan^{4} (x) d x$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{4} (x) d x$

解题步骤 1.2

将 ${\sec (x)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{4} (x) d x$

解题步骤 3

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (1 + u^{2}) u^{4} d u$

解题步骤 4

乘以 $(1 + u^{2}) u^{4}$ 。

$\int 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $u^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

解题步骤 5.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{4} + u^{2 + 4} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\int u^{4} + u^{6} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{4} d u + \int u^{6} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int u^{6} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

解题步骤 10

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (x) + C$

微积分学 示例

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