微积分学示例

$f (x) = \sin (x)$ , $a = \frac{π}{3}$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = \frac{π}{3}$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (\frac{π}{3}) + f' (\frac{π}{3}) (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 3

计算 $f (\frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 3.2

化简 $\sin (\frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$\sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 3.2.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $\frac{π}{3}$ 处的值。

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解题步骤 4.1

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$\cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

解题步骤 6.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{3}$ 。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7

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