微积分学示例

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u^{3}}$ 重写成 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ 。

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 6.2.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 6.2.4

将 $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 7

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ 转换成 ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

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