微积分学示例

$\int \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = π x$ 。然后使 $d u_{1} = π d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = π x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $π x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $\sin^{2} (u_{1})$ 。

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{π} \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{π}$ 和 $\cos^{5} (u_{1})$ 。

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1})}{π} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

因式分解出 $\cos^{4} (u_{1})$ 。

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) (\cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 5.2

将 ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (u_{1})$ 重写成 $1 - \sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 7

使 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\sin (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

解题步骤 7.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1})$

解题步骤 7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8

展开 ${u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.1

将 ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} ((1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.5

运用分配律。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.6

运用分配律。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.7

运用分配律。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.8

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.9

移动括号。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.10

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.11

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.12

移动括号。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.13

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

解题步骤 8.14

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

解题步骤 8.15

移动括号。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.16

移动括号。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.17

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.18

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} \int 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.19

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.20

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.21

提取负因数。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.23

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.24

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.25

提取负因数。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.27

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.28

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.29

将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2 + 2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.31

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8.32

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

解题步骤 8.33

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

解题步骤 8.34

从 $- {u_{2}}^{4}$ 中减去 ${u_{2}}^{4}$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

解题步骤 8.35

将 $- 2 {u_{2}}^{4}$ 和 ${u_{2}}^{6}$ 重新排序。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

解题步骤 8.36

移动 ${u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{π} (\int {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{2}}^{6}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 11

由于 $- 2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 12

根据幂法则， ${u_{2}}^{4}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 13

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

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解题步骤 14.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 ${u_{2}}^{5}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

解题步骤 14.1.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 ${u_{2}}^{7}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

解题步骤 14.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${u_{2}}^{3}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

解题步骤 14.2

化简。

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} - \frac{2 {u_{2}}^{5}}{5} + \frac{{u_{2}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $\sin (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (u_{1})}{7} - \frac{2 \sin^{5} (u_{1})}{5} + \frac{\sin^{3} (u_{1})}{3}) + C$

解题步骤 15.2

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (π x)}{7} - \frac{2 \sin^{5} (π x)}{5} + \frac{\sin^{3} (π x)}{3}) + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} \sin^{7} (π x) - \frac{2}{5} \sin^{5} (π x) + \frac{1}{3} \sin^{3} (π x)) + C$

微积分学 示例

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