微积分学示例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

解题步骤 1

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

计算 $\ln (| \sin (x) |)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |)$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |)$

解题步骤 2.2.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{1}{2} |)$

解题步骤 2.2.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{1}{2} |})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{1}{| \frac{1}{2} |})$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{1}{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (1 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2)$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2)$

小数形式：

$0.69314718 \dots$

微积分学 示例